中国历法的计算要点

为了推算每年的历谱，首先要定一个计算起点，叫做历元。中国古代历法大多数取下列这样的理想时刻为历元：某年十一月甲子日的夜半，它正好是朔和冬至，而且又是月过近地点（即月行速度最快的点）的时刻，等等。由于各种历法的数据不同，所以它们推得的理想时刻也各不相同。不过这样的理想时刻通常离开历法行用的年份都十分遥远。这种历元称为上元（见上元积年）。
设a为一回归年时间，b为一朔望月时间，c为一近点月时间，单位均为“天”。又设y为从上元起到所求年的累计年数。则ay就是从上元起到所求年的冬至的全部时间。因为干支纪日以60天为一周，所以用60去除ay，所得余数r1，就是所求年的冬至时刻到前面一个甲子的夜半的全部时间。这个时间的天数部分叫做大余，不足一天的零数部分叫小余。通常历法都规定，大余“命甲子算外”，即以甲子日为0，乙丑日为1，等等。因此，根据大余的数字，就可以知道所求年冬至日的干支日名。有的历法“命甲子算上”，则应以甲子日为1，乙丑日为2，等等。还有少数历法，如北宋的《纪元历》，不选甲子日，而选己巳日为上元，命己巳算外，则大余就以己巳为0算起，庚午为1，等等。小余就是从夜半起算到发生冬至这瞬间的时间，可以把它按十二时辰制或百刻制等时刻制度（见漏刻），化成时刻。从r1累加一气的时间a/24，就得冬至以后各气的干支日数及时刻。
上述r1的算法，数学上习惯用一个算式来表达：ay≡r1(mod60）。这种算式叫一次同余式。仿此，可以列出其他的一次同余式：ay≡r2(modb),ay≡r3(modc）。r2就是所求年冬至离开十一月平朔的时间间隔。r3则是所求年冬至离月亮上一次过近地点的时间间隔。r1- r2就是十一月平朔离上个甲子日夜半的时间。也和冬至的情况一样，它的整数部分代表甲子日以来的干支日数，零数部分则是从夜半算起到发生平朔的时间。
设这个时间为t0一般历法都给出一份太阳运动表，一份月亮运动表。从太阳运动表，根据所求的十一月平朔在二十四气中的位置（或者，十一月平朔在大雪气后，相距时间为 ；或者，如若，即十一月平朔在大雪气前，在小雪气后，这时，离小雪的时间为)，使用内插法可以推算因太阳运动不均匀而引起的定朔改正数Δts；从月亮运动表，根据所求的十一月平朔在一个近点月周期中的位置（即r3），也是用内插法，可以推算因月亮运动不均匀而引起的定朔改正数Δtm。于是，十一月定朔t=t+Δts+Δtm。t>1,定朔在平朔的次一日；t<0，定朔在平朔的前一日；0　清代以后采用第谷体系和开普勒椭圆面积定律。定朔的计算也就改用欧洲的几何学方法。
十二个朔望月为一个民用历年。它和一个回归年有一个差数r,r=α-12b，约为10～11天。不上三年，差数积累就超过了一个月，这时就要在这个历年内增加一个闰月，以免和回归年脱节。汉《太初历》以来规定了无中气之月为闰月的规则，这也等于规定了每个中气都要在固定的月份里，如冬至在十一月，大寒在十二月，雨水在一月，等等。在不同的历法里，月的名称可以不同（见三正），但一定的中气必须在一定的月份里，这条原则在《太初历》以后的各种历法都是一样的。这就使阴历成分和阳历成分结合得更加紧密。一般来说，如r2>(b-r），则规定这年有闰。r/12，则是两个气的时间比一个朔望月长的差数。将这个数累加到r2上，一当这个累加的和数大于b的时候，就是中气超过月份的时候，这时，就把被超过的月份定为闰月。
中国古代有的历法不用前述特殊时刻的上元，而用近距取元，即取某个已知r1、r2、r3值（设为a1、a2、a3）的年的冬至时刻为历元。例如《授时历》就是以历法制定的那年的冬至时刻为历元。它把a1称为气应，a2称为闰应，a3称为转应。这时，一次同余式组改为：
ay+a1≡r1(mod60），
ay+a2≡r2(modb),
ay+a3≡r3(modc）。
以上是就世界各国历法最基本的内容，即按照推算民用历谱，安排历日的问题来说的。但是中国古代历法还有更丰富更广泛的内容。它包括日、月、五星的运动和位置的计算；昏、旦中星和时刻的测定；日、月食的预报等等。就某种程度来说，中国古代的历法就是一种编算天文年历的工作。它包括中国古代天文学的许多重要内容。它的发展是中国天文学史的一条主线。