（Ⅰ）a=4时，f（x）=x2-4lnx，
∴f（x）的定义域为x＞0，
f′(x)＝2x?
，4 x
由f′(x)＝2x?
=0，得x=4 x
，或x=-
2
（舍），
2
∵f（1）=1-4ln1=1，
f（
）=1-4ln
2
=1-2ln2，
2
f（e）=1-4lne=-3，
∴函数f（x）在[1，e]上的最小值为-3，相应的x的值为e．
（Ⅱ）f（x）≥（a-2）x等价于a（x+lnx）≤x2+2x，
∵x∈[2，e]，∴x+lnx＞0，
∴a≤
，x∈[2，e]，
x2+2x x+lnx
令g（x）=
，x∈[2，e]，
x2+2x x+lnx
g′(x)＝
=
x2?x?2+(2x+2)lnx (x+lnx)2
，(x+1)(x?2+2lnx) (x+lnx)2
当x∈[2，e]时，x+1＞0，lnx≤1，x-2+2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所g（x）在[2，e]上为增函数，
故g（x）的最小值为g（2）=
，所以a的取值范围是（-∞，8 2+ln2
）．8 2+ln2
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