1.设S={1,2,…,50},求最小正整数k,使S的任一k子集,都存在两个不同的数a与b,满足(a+b)整除ab. (1996年 CMO)

这好像是数论的问题吧。我只懂一点。
我觉得可以参考丢番图方程的思想还有抽屉原理来做。
下面我写出我的思路，可能有很多漏洞，而且我这思路肯定也不是最好的。
就给你做个参考。

不妨设a=m*l，b=n*l，其中m与n互质或者其中一个为1。
(a+b)=(m+n)l，ab=mnl²。
因为m与n互质或者其中一个为1，所以(m+n)不能整除mn。所以要使(a+b)整除ab，只要令l=(m+n)j，则a=m(m+n)j，b=n(m+n)j。
至此，a与b就构造出来了。

下面就研究下a与b的情况：
由于a与b可以互换，不妨设a而m与n互质或者其中一个为1，且受到大小的限制，所以m与n有一个范围。
当m取最小值1时，n最大只能为6；m最大只能取4，此时n为5。
也就是m只能取1、2、3、4；n只能取2、3、4、5、6。下面列出所有的情况：
m n m+n j a b
1 2 3 1 3 6
1 2 3 2 6 12
1 2 3 3 9 18
1 2 3 4 12 24
1 2 3 5 15 30
1 2 3 6 18 36
1 2 3 7 21 42
1 2 3 8 24 48
1 3 4 1 4 12
1 3 4 2 8 24
1 3 4 3 12 36
1 3 4 4 16 48
1 4 5 1 5 20
1 4 5 2 10 40
1 5 6 1 6 30
1 6 7 1 7 42
2 3 5 1 10 15
2 3 5 2 20 30
2 5 7 1 14 35
3 4 7 1 21 28
3 5 8 1 24 40
4 5 9 1 36 45
满足上述构造的数有22对，总共有24个数，剩余26个不满足的数。

下面的工作就是确定一个k，使S的任一k子集，都存在满足上述构造a与b的两个不同数。
为保证都存在两个不同的数a与b，满足(a+b)整除ab，所以至少要(26+2)个。但满足上述构造的24个数中任取2个数并不都满足要求。
下面就是要求找到一个最小的数i，使得从满足上述构造的24个数中任取i个都能找到2个数符合(a+b)整除ab。
先找到不重复出现的数（13个）：3、4、5、7、8、9、10、14、16、18、28、35、45（其中14跟35配对了）；它们对应的数（12个）是：6、12、20、42、24、18、25、35、48、36、21、14、36；总共23个数，而30未出现。从重复出现的11个数中，30未与不重复出现的数配对。因此，i≥12+1+1=14。
………（还有一部分工作没有认真去想）………
目前确定i=14，所以k=26+14=40。