由于二元函数z=f（x，y）在点（x，y）处的全增量
△z=f（x+△x，y+△y）-f（x，y）=[f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）]+[f（x，y+△y）-f（x，y）]①
①式第一个函数可以看成是x的一元函数f（x，y+△y）的增量，应用拉格朗日中值定理，得
f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）=fx（x+θ1△x，y+△y）△x，其中0＜θ1＜1
又由于fx（x，y）在点（x，y）处连续，因此上式可写为
f（x+△x，y+△y）-f（x，y+△y）=fx（x，y）△x+α△x…②
其中α为△x和△y的函数，且△x和△y趋于0时，α趋于0
同理，①式的第二函数也可以写成
f（x，y+△y）-f（x，y）=fy（x，y）△y+β△y…③
其中β为△x和△y的函数，且△x和△y趋于0时，β趋于0
由②和③式，可知
△z=fx（x，y）△x+fy（x，y）△y+α△x+β△y
即
lim ρ→0
＝△z?[fx(x，y)△x+fy(x，y)△y] ρ
lim ρ→0
＝0α△x+β△y ρ
即z=f（x，y）在该点可微
故二元函数z=f（x，y）的两个偏导数
，?z ?x
在点（x，y）处连续是z=f（x，y）在该点可微的充分条件．?z ?y
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