证明当n大于等于3时有n的n+1次方大于n+1的n次方

希望有比较好的证明过程

2025-05-20 13:35:36

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回答1：

根据二项式定理，有
[1+(1/n)]^n
=1+n*(1/n)+[n*(n-1)/(2!)]*[(1/n)^2]+...+[n*...*1/(n!)]*[((1/n)^n]
=1+1+[n*(n-1)/(2!)]*[(1/n)^2]+...+[n*...*1/(n!)]*[(1/n)^n]

而对任意2n*(n-1)*...*(n-i+1)/(i!)
因此，[1+(1/n)]^n
<1+1+(n^2)*[(1/n)^2]+...+(n^n)*[(1/n)^n]
=1+1+1+...+1=n
即[(n+1)/n]^n[(n+1)^n]/(n^n)(n+1)^n<(n^n)*n=n^(n+1)
证毕

注：a^b表示a的b次方

回答2：

用二项式证明比较简单!具体的征法我就不打了,因为相关符号打不出来