求n阶行列式|1+a1,1,...,1| |1,1+a2,...,1| |...,...,...,...| |1,1,...,1+an|,其中a1a2...an=⼀0

(1) 若数列a1、a2、a3、……、an中至少有两个数等于零，

则行列式中就会出现至少两个以上均为1的相同行，

∴原行列式＝0

(2) 若数列a1、a2、a3、……、an中有且仅有一个数等于零，

假设a i =0（其中i∈［1，n]）则

原行列式＝a1*a2*a3*……＊ai-1 * ai+1*……＊an

（数列中不算ai的其余n-1个数的乘积）

(3)若数列a1、a2、a3、……、an均不为零，

则原行列式＝a1*a2*a3*a4*……＊a*an 

性质

①行列式A中某行（或列）用同一数k乘，其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列）。

③若n阶行列式｜αij|中某行（或列）;行列式则｜αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行（或列）,一个是b1,b2,…，bn；另一个是с1，с2,…，сn；其余各行（或列）上的元与｜αij|的完全一样。

④把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

简单计算一下即可，答案如图所示

题目中不是有
a1a2a3...an不等于0
?!
第1行乘
-1
加到其余各行
得
1+a1
1
...
1
-a1
a2
...
0
...
...
-a1
0
...
an
第k列提出ak,k=1,2,...,n
(注意ai不等于0)
得
a1a2a3...an*
1+1/a1
1/a2
...
1/an
-1
1
...
0
...
...
-1
0
...
1
第2到n列加到第1列,
得一上三角行列式
1+1/a1
1/a2
...
1/an
0
1
...
0
...
...
0
0
...
1
行列式
=
a1a2a3...an(
1+1/a1+2/a2+...+1/an)