高数梯度问题？

求出在这点的梯度，
很容易知道是（1 2）
方向设为（cosα sinα）
方向导数就是cosα+2sinα是一个中学求最小值的问题。

或者简单来说，有一个结论：梯度的相反方向的单位向量上，方向导数最小，容易知道是A。

一的平方加二的平方在开根号 这是模

分析，注意题设问的是“减小最快的方向是——”

解：

根据题意，设该函数在(1,-2)点上的任意方向v导数是：

∂f/∂v=f'x|(1,-2)·cosα+f'y(1,-2)·cosβ，其中cosα和cosβ是方向v的方向角，写成向量形式：

∂f/∂v=f'x|(1,-2)·cosα·i+f'y(1,-2)·cosβ·j

显然：

1）当{cosα，cosβ}={1,1}时，∂f/∂v有最大值，为：f'x|(1,-2)i+f'y(1,-2)j，这就是梯度；此时就是x轴和y轴正向方向一致；

2）当{cosα，cosβ}={-1,-1}时，∂f/∂v有最小值，为：-f'x|(1,-2)i-f'y(1,-2)j，这就是反向梯度；此时就是x轴和y轴负向方向一致，此时：

-cos3i-2cos3j=|grandf(x,y)|·{-i,-2j}=(归一化)|grandf(x,y)|·{-i/√5，-2j/√5}

∴方向是：

{-i/√5，-2j/√5}