求证:空间中两条异面直线有且只有一条公垂线

反证法---证明唯一性
假设有两条公垂线，则他们都与异面直线相交（公垂线的定义）
所以两公垂线确定一个平面a（公理3）
所以4个交点共面a
因为每条异面直线都有两个点在平面a上
所以每条异面直线都在平面a上（公理2）
所以两条异面直线共面a，引出矛盾
所以假设不成立，只能有一条公垂线
（下面证明存在性）
设异面直线a、b
过b上任意一点m作直线c平行a，则b、c确定平面a（公理3）
过点m作一条直线d垂直平面a
则d与b确定一个平面b（公理3）
因为a、b是异面直线
所以a与平面b相交于一点p（异面直线的定义）
过点p在平面b内作直线垂直b，则该直线就是公垂线（公垂线的定义）
自己画图，标字母，根据图形自己组织数学符号语言作答

存在性证明
过直线b作平面A平行于a，将a向A投影得a'交b于点p
过点p作直线c垂直于A
∵c⊥A
∴c⊥b且c⊥a'
∵a‖a'且c∩a'=p
∴c⊥a=p'
则c即为a,b公垂线
唯一性证明
假设公垂线不唯一，过b上任一点m作公垂线交a于n
∵mn⊥a
a‖a'
∴mn⊥a'
又∵mn⊥b
∴mn⊥A
∵mn∩a=n且mn⊥a'
∴mn∩a'=n'
过平面外一点有且只有一条直线垂直于平面
∴m=n'=p(三点重合)
得过点p有两条直线与A垂直,与定理(过平面上一点有且只有一条直线垂直于平面)矛盾,故假设不成立.唯一性得证.
(好久不证了,有点生.有什么不对的你还得自己改改)