解答：解：（Ⅰ）设正方体的棱长为1，延长DC至G，使CG＝
DC，连结BG，D1G．1 2
∵FB∥GC，FB=GC
∴四边形FBGC是平行四边形．
∴BG∥FC．
∴∠D1BG就是异面直线BD1与CF所成的角．（3分）
在△D1BG中，D1B＝
，BG＝
3
，D1G＝
5
2
12+(
)2＝3 2
，
13
2
∴cos∠D1BG＝
＝
D1B2+BG2?D1G2
2D1B?BG
＝3+
?5 4
13 4 2×
15
2
．
15
15
即异面直线BD1与CF所成角的余弦值是
．（6分）
15
15
（Ⅱ）过A1作A1H⊥CF，交CF的延长线于H．连结AH．∵AA1⊥平面ABCD，
∴AH是A1H在平面ABCD内的射影
∴AH⊥CH．（8分）
则∠A1HA为二面角A1---FC---D的平面角．（9分）
底面ABCD如图所示．
由于∠AHF=∠B=90°，∠AFH=CFB，
则△AHF～△CBF．
∴
＝AH CB
．AF CF
∴CF＝
，AF＝
5
2
，1 2
∴AH＝
＝CB?AF CF
＝1?
1 2
5
2
．(11分)1
5
在Rt△A1AH中，A1A＝1，AH＝
，1
5
∴tan∠A1HA＝
＝
A1A AH
．
5
则二面角A1-FC-D的大小为arctg
．（13分）
5
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