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已知a、b、c、m、n、p均为实数,求证:(a^2+b^2+c^2)(m^2+n^2+p^2)>=(am+bn+cp)^2

2025-06-21 14:45:44

推荐回答（2个）

回答1：

这其实就是柯西不等式。
考察关于 x 的一元二次方程 (ax - m)^2+(bx - n)^2+(cx - p)^2 = 0 ，
如果 a/m = b/n = c/p ，则方程有惟一解 a/m ；
如果它们三个有两个或三个不等，显然方程无解，
所以其判别式为负数或0 。
方程化为 (a^2+b^2+c^2)x^2-2(am+bn+cp)x+(m^2+n^2+p^2) = 0，
所以 [-2(am+bn+cp)]^2 - 4(a^2+b^2+c^2)(m^2+n^2+p^2) ≤ 0 ，
化简即得所证不等式。

回答2：

左右两边式子拆开，由a^2+b^2>=2ab可证。