两道关于导数的高中数学题

第一题很明显是用构造函数法

构造函数除了技巧以外，还要多做题，这样才有感觉

这里不赘述了，构造F（X）=f(x)/e^x

对它求导，得F'(X)=f'(x)-f(x)/e^x

又因为f'(x)大于f(x），因此F(X)单调递增，

a>0,因此F(a)>F(0),推出f(a)e^0=f(a)>f(0)e^a，选B

2 考虑实根的问题一般转化为考察函数的单调性，或者用几何方法画图也可以，找交点

设F（x）=x^3-3x+m,对它求导

则F'（x）=3x^2-3,在【0，1】上小于等于0

因此在上单调递减，做到这一步就可以了，因为是选择题，且m为未知

如果是解答题还要求F（0）和F（1）的值，再分别判断其正负

因此在【0，1】上至多只有1个不等实根

1.B
2.D

1，此题正面做比较难，我们可以侧面试试（不属于标准答题规范）。令fx=(e^x)-1
则f'x=e^x
把x=a , x=0分别代入
则有fa>0
fo=0
fa>e^a¤fo选B
2令fx=x^3-3x m
则f'x=3x^2-3
令f'x=0
求得x=1或-1
函数在[-1，1]为递减函数
所以在[0，1]可能有一个实根，可能没有，选D

第二题D F（x）=X3-3X+m对F（x）求导得F（x）=X3-3X+m对此求导得F，（x）=2X2-3。令F，（x）=0得X1=-1X2=1既X=-1时F（x最大.X=1时F（x）最小，F（x）max=m+2,F(x)min=m-2,F（0）=m。既m≤F（x）≤m+2与X=0有几个交点

第一个可以这么做,y`=dy/dx,
所以y dx < dy/y 积分得x < lny => y>e^x
所以f(a) > e^a*f(0)

1. 取一个满足条件的函数f(x)=e^(2x),
f'(x)=2e^(2x)>f(x)=e^(2x), 满足条件
a>0 f(a)=e^(2a)> e^a =f(0)*e^a (因为y=e^x 是单调递增的 且2a>a)
所以选B 排除ACD。

2. 设y=x^3-3x+m
则 y'=3x^2 -3 y'=0 x=±1
当x∈( -∞, -1)时 y'>0 y 单调增
当x∈[ -1 , 1]时 y'<0 y 单调减
当 x∈(1, +∞) 时 y'>0 y 单调增

当x∈[ -1 , 1]时 y 单调减 故和x只有一个交点, 而这个交点有可能落在[0，1]上，所以在[0，1]至多只有一个实根。
因此选D

如有不明白的，可以和我联系。