(2012?枣庄一模)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,椭圆上一点到一个焦点的最大值为3,

2025-05-21 18:10:50
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回答1:

(1)由题意,

a+c=3
c
a
1
2
,∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3,∴椭圆C1的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)由(1)知A(0,
3
),且直线AP的斜率存在,设其斜率为k,则直线AP的方程为kx-y+
3
=0
圆C2的圆心坐标为(-4,
3
),半径为2
3

∵直线AP与圆C2相切,
|?4k?
3
+
3
|
k2+1
=2
3

k=±
3

k=
3
时,直线方程代入椭圆方程可得5x2+8x=0,∴x=0或x=-
8
5
,∴点P的坐标为(-
8
5
,-
3
3
5

同理可得k=-
3
时,点P的坐标为(
8
5
,-
3
3
5
);
(3)设M(x3,y3),P(x4,y4),则N(x3,-y3),
由M,P,E三点共线,可得
y4?y3
x4?x3
=
y4?0
x4?x1
,∴x1
x3y4?x4y3
y4?y3

同理由N,P,F三点共线,可得x2
x3y4+x4y3
y4+y3

∵M,P在椭圆上,∴
x32
4
+
y