如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．（1

解答：解：（1）①过E作EH⊥AB于点H，则EF=AD=3，AF=DE=

1

2

AB=

5

2

，
故tan∠EAB=

EF

AF

=

3

5 2

=

6

5

；

②法一：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADE=∠BCE，
又CE=DE，
∴△ADE≌△BCE，
得AE=BE，∠EAB=∠EBA．
连接OF，则OF=OA，
∴∠OAF=∠OFA，∠OFA=∠EBA．
∴OF∥EB．
∵FG⊥BE，
∴FG⊥OF，
∴FG是⊙O的切线．
（法二：提示：连EF，DF，证四边形DFBE是平行四边形．）
（2）法一：假设BE能与⊙O相切．
∵AE是⊙O的直径，
∴AE⊥BE，则∠DEA+∠BEC=90°．
又∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠DEA=∠EBC，
∴Rt△ADE∽Rt△CEB，
∴

AD

EC

＝

DE

BC

．
设DE=x，则EC=5-x，AD=BC=3，
得

3

5?x

＝

x

3

，
整理得x²-5x+9=0．
∵b²-4ac=25-36=-11＜0，
∴该方程无实数根，
∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．
法二：若BE能与⊙O相切，因AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB=90°．
设DE=x，则EC=5-x．
由勾股定理得：AE²+EB²=AB²，
即（9+x²）+[（5-x）²+9]=25，
整理得x²-5x+9=0，
∵b²-4ac=25-36=-11＜0，
∴该方程无实数根，
∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．
（法三：本题可以通过判断以AB为直径的圆与DC是否有交点来求解）