62问答网 > 已知x,y均为正数,且x+2y=3。则√2x*(y+1⼀2)的最大值为

已知x,y均为正数,且x+2y=3。则√2x*(y+1⼀2)的最大值为

要详细过程··········

2025-05-21 11:49:34

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回答1：

√2x*(y+1/2)
=√(6-4y)(y+1/2)
=√6y+3-4y²-2y
=√-4y²+4y+3
=√-4（y²-y+1/4）+4
=√-4（y-1/2）²+4
因为x y为正数，所以-4（y-1/2）²最大为0 ……当y=1/2的时候
所以√-4（y-1/2）²+4 最大为√4=2
故√2x*(y+1/2)的最大值为2

回答2：

√2x*(y+1/2)
=√2/4*2*x*(2y+1)
<=√2/4*[(x+2y+1)^2]/2
=√2/4*[(3+1)^2]/2
=2√2
当且仅当x=2y+1时取等号，联立x+2y=3得，x=2,y=1/2

本题妙用不等式2ab<=[(a+b)^2]/2(a>0,b>0)