62问答网 > 已知函数f（x）=2 x+1 定义在R上．（1）若存在，使得f（x）+f（-x）=a成立，求实数a的取值范围；（2）若

已知函数f（x）=2 x+1 定义在R上．（1）若存在，使得f（x）+f（-x）=a成立，求实数a的取值范围；（2）若

2025-06-20 23:40:58

推荐回答（1个）

回答1：

（1）依题意有a=2^x+1 +2^-x+1 ，
即关于x的方程 a=2? 2 x +

2 x

有解．…（2分）
而 2? 2 x +

2 x

≥2

2? 2 x ?

2 x

=4 ，当且仅当 2? 2 x =

2 x

，即x=0时等号成立，故实数a的取值范围是[4，+∞）．（4分）
（2）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①②得 g(x)=

f(x)+f(-x)

， h(x)=

f(x)-f(-x)

（5分）
∵f（x）定义在R上，
∴g（x），h（x）都定义在R上．
∵ g(-x)=

f(-x)+f(x)

=g(x) ， h(-x)=

f(-x)-f(x)

=-h(x) ．∴满足g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，
又∵f（x）=2^x+1 ，
∴ g(x)=

f(x)+f(-x)

2 x+1 + 2 -x+1

= 2 x +

2 x

h(x)=

f(x)-f(-x)

2 x+1 - 2 -x+1

= 2 x -

2 x

．（7分）
由 2 x -

2 x

=t ，则t∈R，平方，
得 t 2 =( 2 x -

2 x

) 2 = 2 2x +

2 2x

-2 ，∴ g(2x)= 2 2x +

2 2x

= t 2 +2 ，
故p（t）=t² +2mt+m² -m+1．（9分）
（3）∵t=h（x）在x∈[1，2]上是增函数，（10分）
∴

≤t≤

．（12分）
∴p（t）=t² +2mt+m² -m+1≥m² -m-1对于 t∈[

，

] 恒成立，
∴ m≥-

t 2 +2

=-(

) 对于 t∈[

，

] 恒成立（14分）
令 φ(t)=-(

) ，则

≥

，
当且仅当 t=

时等号成立，而

，

] ，
∴函数 φ(t)=-(

) 在 t∈[

，

] 上是减函数，
∴ φ(t ) max =φ(

)=-

，故 m≥-

．（16分）