求解方程式的根：

已知p＋q＝198，求方程x^2＋px＋q＝0的整数根

2025-06-20 19:56:55

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回答1：

已知p＋q＝198，求方程x^2＋px＋q＝0的整数根．
(94祖冲之杯数学邀请赛试题)
解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得
x1＋x2＝－p，x1x2＝q．
于是x1·x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，
即x1·x2－x1－x2＋1＝199．
∴(x1－1)·(x2－1)＝199．
注意到（x1－1）、（x2－1）均为整数，
解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

回答2：

设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．
由韦达定理，得 x1＋x2＝－p，x1x2＝q．
于是x1·x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，
即x1·x2－x1－x2＋1＝199．
∴(x1－1)·(x2－1)＝199．
注意到（x1－1）、（x2－1）均为整数，
解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．