应用一元一次方程“希望工程”义演课堂精练答案

5
应用一元一次方程——“希望工程”义演

1
．
等量关系的确定

列方程解应用题的关键是找出能够反映题意的一个等量关系．
对于复杂问题的等量关系
可采用列表法分析数量之间的关系．一般可从以下几个
方面确定等量关系：

(1)
抓住问题中的关键词，
确定等量关系．
如问题中的“和”、
“差”、
“倍”、
“多”、
“少”、“快”、“慢”等都是确定等量关系的关键词．

(2)
利用公式或基本数量关系找等量关系．

(3)
从变化的关系中寻找不变的量，确定等量关系．

【例
1
】

刘成用
150
元买了甲、乙两种书，共
20
本，甲种书单价
10
元，乙种书单价
5
元，则刘成买了这两种书各多少本？

分析：
本题的两个等量关系是：甲种书款＋乙种书款＝
150
元，甲种书量＋乙种书量＝
20
本．本题有两个未知数：甲种书的数量和乙种书的数量．因此既可以设甲书的数量为未
知数，又可以设乙书的数量为未知数．

解：
(
方法
1
)
设刘成买了甲种书
x
本，则买了乙种书
(20
－
x
)
本，

根据题意，得
10
x
＋
5(20
－
x
)
＝
150
，

10
x
＋
100
－
5
x
＝
150,5
x
＝
50
，
x
＝
10
，

20
－
10
＝
10(
本
)
．

答：刘成买了甲、乙两种书各
10
本．

(
方法
2)
设买了乙种书
x
本，则甲种书有
(20
－
x
)
本．

根据题意，得
10(20
－
x
)
＋
5
x
＝
150
，

200
－
10
x
＋
5
x
＝
150
，

－
5
x
＝－
50
，

x
＝
10
，

20
－
10
＝
10(
本
)
．

答：刘成买了甲、乙两种书各
10
本．

2
．
未知数的设法

较复杂的问题，
未知量可能有两个或两个以上，
选择一个适当的未知量设为未知数非常
重要．未知数设的适当，能给列方程带来简便．

未知数的设法大致有两种：
直接设未知数和间接设未知数．
另外还可以根据解决问题的
需要设出辅助未知数帮助解答．

(1)
直接设未知数

直接设未知数，
就是题目中问什么就设什么．
对于只有一个相等关系的问题，
直接设未
知数就能解决问题．而对于较复杂的问题，直接设未知数时列方程可能会较困难．

(2)
间接设未知数，就是所设的未知数不是问题中最后所要求的未知数，而是设另外的
量为未知数，这样做的好处是便于理顺数量关系、易于列方程．

(3)
设
辅助未知数

在列方程解应用题时，
有时为了解题的需要，
将某些量之间的关系说得更清晰，
我们引
入一些辅助未知数．
这些未知数在解方程的过程中，
往往是约掉了或者抵消了，
最后求出的
问题的解与这些未知数无关，因此，被称为辅助未知数．

________________________________________________________
________________________________________________________
_____________________
___________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
【例
2
－
1
】

一位老人立下遗
嘱：把
17
头牛按
1
2
，
1
3

，
1
9
分给他的大儿子、二儿子、三儿
子，问三个儿子各分得多少头牛？

分析：
解答本题，
若直接设三个儿子分别分得多少头牛来求解比较困难，
因为遗嘱中规
定的大儿子、
二儿子、
三儿子应分得牛的头数的比例为
1
2
∶
1
3
∶
1
9
＝
9
∶
6
∶
2
，
所以可设一份为
x
，然后根据
“
大儿子所分得的牛的头数＋二儿子所分得的牛的头数＋小儿子所分得的牛的
头数＝
17
”
列方程求解．

解：
因为
1
2
∶
1
3
∶
1
9
＝
9
∶
6
∶
2
，
所以设每一份为
x
头牛，
则三人所分得的牛的头数分别为
9
x,
6
x,
2
x
.
根据题意，得
9
x
＋
6
x
＋
2
x
＝
1
7.
解这个方程，得
x
＝
1.
所以
9
x
＝
9,6
x
＝
6,2
x
＝
2.
答：三个儿子分别分得
9
头、
6
头、
2
头牛．

【例
2
－
2
】

高一某班在入学体检中，测得全班同学的平均体重是
48
千克，其中男同
学平均体重比女同学平均体重多
20%
，而女同学人数比男同学人数多
20%.
求男、女同学的
平均体重．

分析：
本题中的未知量有四个
——
男、
女同学的平均体重和男、
女同学的人数，
可以设
女同学的平均体重为
x
千克，
男同学有
y
人两个未知数，
根据本题中的相等关系
“
男女同学
的总体重＝全班同学的平均体重
×
总人数
”
列出一个方程，
其中的未知数
y
在解方程的过程
中被约掉了，这里的
y
就是辅助未知数．

解：
设女同学平均体重为
x
千克，则男同学平均体重为
1.2
x
千克，设男同学为
y
人，
则女同学为
1.2
y
人．

根据题意，得
1.2
xy
＋
1.2
xy
＝
48(
y
＋
1.2
y
)
．

合并同类项，得
2.4
xy
＝
48
×
2.2
y
.
∵
y
≠
0
，
∴
方程两边同除以
2.4
y
，得
x
＝
44.
∴
1.2
x
＝
1.2
×
44
＝
52.8
(
千克
)
．

答：男同学的平均体重为
52.8
千克，女同学的平均体重为
44
千克．

3
．
几种复杂的应用问题

含有两个或两个以上的等量关系的应用题主要有以下三种：

(1)
按比例分配问题

按比例分配问题是指已知两个或几个未知量的比，分别求几个未知量的问题．

比例分配问题中的相等关系是：

不同成分的数量之和＝全部数量．

(2)
工程问题

工程问题中的相等关系是：

工作量＝工作效率×工作时间；

甲的工作效率＋乙的工作效率＝合作的工作效率；

甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝完成的总工作量．

解答工程类问题时，
常常把总工作量看成整体
1.
找出工作效率
(
即单位时间内的工作量
)
是解答的关键．

(3)
资源调配问题

资源调配问题一般采取列表法分析数量关系，
利用表格，
可以很清晰地表达出各个数量
之间的关系．其中的相等关系要根据题目提供的等量关系确定．

【例
3
】

甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做
30
天完成，乙单独做
20
天完成，
合同规定
15
天完成．否则每超过
1
天罚款
1 000
元，甲、乙两人经商量后签订了该合同．

(1)
正常情况下，甲、乙两人能否完成该合同？为什么？

(2)
现两人合作了该工程的
75%
，
因别处有急事，
必须调走一人，
问调走谁更合适一些？
为什么？

分析：
(1)
设甲、乙两人合作
x
天完成合同，列出一元一次方程求出
x
的值，即可知道
甲、乙两人能否完成该合同；

(2)
因两人已完成了该工程的
75%
，分别计算出甲、乙两人单独做完未完成的
25%
各需
要多少时间，调走合同期内不能完成任务的人更合适一些．

解：
(
1)
设甲、乙两人合作
x
天完成合同，则甲、乙的工作效率分别为
1
30
，
1
20
.
依题意，
得




1
30
＋
1
20
x
＝
1.
解这个方程，得
x
＝
12.
因为
12
＜
15
，所以两人能完成该合同．

(2)
调走甲更合适一些．

理由：设甲单独完成剩下的工程需
x
天，乙单独完成剩下的工程需
y
天．依题意，得
1
30
x
＝
1
－
75%
，
1
20
y
＝
1
－
75%.
解得
x
＝
7.5
，
y
＝
5.
因为两人合作
12
天完成任务，所以完成任务的
75%
需要
12
×
75%
＝
9(
天
)
，所以还剩
6
天可以让另一个人单独完成任务．

而
7.5>6,5<6
，说明甲不能按期完成任务，而乙能完成．所
以调走甲更合适一些．