证明不等式:（1）In(1+x)<x⼀根号1+x(x>0)

2025-06-21 15:40:58

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回答1：

证明：
1）
设f(x)=ln(1+x)-x/√(1+x)
=ln(1+x)-(1+x-1)/√(1+x)
=ln(1+x)-√(1+x)+1/√(1+x)
设f(t)=ln(t^2)-t+1/t，t=√(1+x)>1
f(t)=2lnt-t+1/t
求导：f'(t)=2/t-1-1/t^2=-(1/t-1)^2<=0
所以：f(t)是减函数
f(t)所以：f(t)<0恒成立
所以：f(x)=ln(1+x)-√(1+x)+1/√(1+x)<0在x>0时成立
所以：ln(1+x)0时恒成立

2）
f(x)=ln(1+x)-ax/(a+1)在x>0时单调递增，f'(x)>=0恒成立
求导：f'(x)=1/(1+x)-a/(a+1)>=0
a/(a+1)<=1/(1+x)
因为：0<1/(1+x)<1
所以：a/(a+1)<=0
(a+1-1)/(a+1)<=0
1/(a+1)>=1
0-1