(x+y)y✀+(x-y)=0的通解

2025-06-20 19:24:21

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回答1：

解：令y=xt，则y'=xt'+t
代入原方程，化简得 x(1+t)t'+1+t^2=0
==>x(1+t)dt+(1+t^2)dx=0
==>(1+t)dt/(1+t^2)+dx/x=0
==>∫(1+t)dt/(1+t^2)+∫dx/x=0
==>arctant+(1/2)ln(1+t^2)+ln│x│=ln│C│ (C是积分常数)
==>x√(1+t^2)*e^(arctant)=C
==>x√(1+(y/x)^2)*e^(arctan(y/x))=C
==>√(x^2+y^2)*e^(arctan(y/x))=C
故原方程的通解是√(x^2+y^2)*e^(arctan(y/x))=C。

回答2：

两边除x,再设u=y/x，就可以变成分离可变量的微分方程
接着两边同时积分，跟书里的例题差不多的