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已知函数f(x)=x^2e^x,g(x)=lnx+1.求函数f(x)的单调区间;证明f(x)>g(x)

2025-06-21 06:02:44

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回答1：

f‘(x)=2xe^x+x²e^x=(2x+x²)e^x，
f‘(x)=0，则x=0或x=-2，

所以在区间(-∞ ，-2)上函数f(x)为单调增函数，在区间(-2，0)上函数f(x)为单调减函数，在区间(0，∞)上函数f(x)为单调增函数；
在区间(0，1/e)上，f(x)>0>g(x)，在区间(1/e，∞)上，f(x)>x>g(x)，所以f(x)>g(x)。

回答2：

要证明f(x)>g(x) ,只需证明e^x/x>(lnx+1)/x^3,证明左边的最小值>右边的最大值即可