请朋友老师来帮助讲解一道《高等代数》的欧氏空间的数学题！！！！

楼主，你首先要搞清楚，前一节的例3是为了给出“定义在[A，B]上的一切连续实函数所成的向量空间是欧式空间”这一结论，即满足[A，B]上的一切连续实函数所成的向量空间是欧式空间。那么本题中定义在闭区间[0，2π]上一切连续函数所作成的欧氏空间C[0，2π]必然是一个欧式空间，因为这里的闭区间[0，2π]就相当于例3中的[A，B]，例3对于本例的作用到此为止。再往下看，编者给出的1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，........，cosnx，sinnx.......（注意，这个函数组是编者随意取的，我还可以取闭区间[0，2π]上的切比雪夫多项式，它也满足本例题）这一族函数显然满足是在[A，B]上的一切连续实函数，那么最后在按照你的分析，只要先证每个函数都不是零函数，再证这些函数两两正交。所以，它的作用并不是给于本例题的具体内积表示，只是本题中的对象是笔者随意取的，因为定义在闭区间[0，2π]上一切连续函数所作成的欧氏空间C[0，2π]这样的函数组可以取无穷多个。所以楼主应该注意例题间的前后关系呀。

注：切比雪夫多项式是数值分析中正交函数逼近中常取的函数族。

应该就是按照例3中的方法定义内积，作为一个完整的题目先要验证〈F，G〉的定义满足内积性质。
然后用积化和差公式易证函数族中任意不相同两项的正交性，且各项非零，故构成欧式空间中的正交组。

上面都没有注意欧式空间的完整定义。要确定欧式空间是有条件的。缺少一点就不能说构成欧式空间。
主要有两点：一是给定向量空间；二是给定这个向量空间中的某个二元运算。
然后按照欧式空间的定义逐一验证。注意上面两个条件缺一不可，不能单说某个向量空间是欧式空间。对于你说的那个题目，题目指明了这个二元运算是上题的，你就按照这个来。
不过我要提醒的是，如果说1，sinx,cosx,sin2x,cos2x,.....,sinnx,cosnx,...... 是正交组，上面你说的那些验证也就足够了，不过如果说是基本正交组，还必须验证这组函数组能够线性表出空间的任意函数，按照Fourier级数理论这是正确的，所以这组函数是基本正交组。

我觉得：应该就是按照例3中的方法定义内积，作为一个完整的题目先要验证（F，G）的定义满足内积性质。
然后用积化和差公式易证函数族中任意不相同两项的正交性，且各项非零，故构成欧式空间中的正交组。

一楼二楼的说了等于没说，我个人更倾向于三楼的看法，张禾瑞的书我教过很多遍了，我认为本例题是基于前节例题的基础之上展开的，内积定义根据说法不同表示形式并不唯一。四楼好像是在阐述欧式空间的定义，但好像也没有说到要害，但也精僻。以上是我的观点。