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数学分析难题数列极限：若0<=x(m+n)<=xm+xn,证明 lim xn⼀x存在

2025-05-20 12:04:38

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回答1：

x(m+n)<=xm+xn
xn<=x(n-1)+x1<=(x(n-2)+x1)+x1<=...<=nx1
故xn/n<=x1
从而xn/x有上界，从而知xn/n有聚点
由于没有确定的信息，
现证明lim xn/n最小聚点=lim xn/n 最大聚点
设最小聚点为a
那么
对于任意e>0,存在N使得xN/N注意：这个是分析里面常用的手法。
对于这个e，对任意n有n=Nq+r
做类似转换得
xn=x(Nq+r)<=q*xN+xr<=q*xN+rx1
那么xn/n<=q/n*xN+r*x1/n<=xN/N+r*x1那么对某些n,r=0从而xn/n的最大聚点<=a+e
由于e是任意整数
故xn/n的最大聚点=a
是故xn/n的最大聚点=xn/n的最小聚点
故lim xn/x存在

数学分析 难题 数列 极限：若0<=x(m+n)<=xm+xn,证明 lim xn⼀x存在

数学分析难题数列极限：若0<=x(m+n)<=xm+xn,证明 lim xn⼀x存在