解答：证明：（1）由已知f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0得 f（0）=0，
（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）为奇函数．
（2）设x1，x2是 （-∞，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，
∵x2-x1＞0，f（x2-x1）＞0，
由（1）知f（x）为奇函数，
∴f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在R上为增函数；
（4）令x=y=1，得f（2）=2f（1）=2，
再令x=1，y=2．得f（3）=f（2）+f（1）=2+1=3，
∴f（-3）=-f（3）=-3，
又f（x）在R上为增函数减函数，当-3≤x≤3时，
f（x）在[-3，3]上的最大值为：f（3）=3，最小值为：f（-3）=-3，
∴f（x）的取值范围为[-3，3]
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