62问答网 > 已知行列式A，|A|= a b c d -b a -d c -c d a -b -d -c b a 答案说AA^T=(a^2+b^2+c^2+d^2)E, 为什么啊

已知行列式A，|A|= a b c d -b a -d c -c d a -b -d -c b a 答案说AA^T=(a^2+b^2+c^2+d^2)E, 为什么啊

|A|= a b c d -b a -d c -c d a -b -d -c b a

2025-06-20 19:21:03

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回答1：

这是个非常特殊的求行列式的例子
根据矩阵的乘法, 计算可得 A^TA = (a^2+b^2+c^2+d^2)E
即主对角线上都是 a^2+b^2+c^2+d^2, 其余元素都是0的矩阵.

等式两边取行列式 |A^T||A| = |(a^2+b^2+c^2+d^2)E|
即有 |A|^2 = (a^2+b^2+c^2+d^2)^4

两边开方, 注意到 |A| 中 a^4 的系数是1, 所以有
|A| = =(a^2+b^2+c^2+d^2)^2.

利用满足这种特殊关系来求行列式的不多, 知道有这一类就可以了.