已知平面上的向量PA,PB满足|PA|^2+|PB|^2=4,|AB|=2,设向量PC=2PA+PB设向量|PC|的最小值是多少。求详细算法

2025-05-22 06:22:54
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回答1:

解:在△PAB中用余弦定理可以得到
|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|cos∠APB,代入得|PA||PB|cos∠APB=0
所以可以分三种情况进行讨论
1°向量PA=0向量,此时|PB|=2,|PC|=2
2°向量PB=0向量,此时|PA|=2,|PC|=4
3°cos∠APB=0即 PA与PB的夹角是90°,这时画画图可以知道,做出来的PC向量是一个直角三角形的斜边,|PC|²=4|PA|²+|PB|²=3|PA|²+4,∴|PC|≥2
综上所述 |PC|min=2