首先,没见过多元函数里有“间断点”的概念(数学系的会有?)
总之,这个(0,0)是无定义点,自然也是偏导不连续点
不满足格林公式的使用条件,那自然是不能直接使用的
于是,想用就必须补线,也就是“挖洞”
但挖洞要有技巧
注意到这里的洞是由于分母F(x,y)为零的地方产生的
于是补的线要根据F(x,y)的形式来补(F是圆,补的就是圆;是椭圆,补的就是椭圆)
这里补的线就是l: F(x,y) = x²+y² = r²,其中r足够小
这样做是因为线积分能够将曲线方程代入被积函数中,这样就消去了无定义点
即 ∮(xdy-ydx)/(x²+y²) = ∮(xdy-ydx)/r² = (1/ r²)∮xdy-ydx 【积分路径为l】
原积分化为
∮(xdy-ydx)/(x²+y²) 【积分路径为l】
=∮(xdy-ydx)/(x²+y²) - (1/ r²)∮xdy-ydx 【前者积分路径为L+l,后者积分路径为l】
这样前者避开了(0,0)点,可使用格林公式了
后者将曲线方程代入被积函数后消去了无定义点,再使用格林公式也无妨了