证法一：解：以F为圆心，FA为半径，作弧与AC交与点H，易说明HF=AF.连接EH，设EH与AD交与点M ∵EF=EF，AF=HF，∠EFA=∠EFH，∴△EFA≌△EFH，∴EH=EA.∴△EHA为等腰三角形∴∠EHA=∠EAH∵AB=AC∴∠BCA=∠BAC=∠EAH，∴∠EHA=∠BCA，∴BC∥EH，EM‖BC，∴∠EMA=90°，即△EMA为等腰直角三角形。易证△EMG≌△AMH，所以EG=AH,因为AH=2AF，所以EG=2AF。证法二：解：作BD垂直于AC于点Q，与AD交与点P。由AB=BC可说明BQ是角平分线也是中线，由AD=BD易证三角形BDP与三角形ACD的关系，得出2AQ=AC,2AQ=BP。易证三角形BQA相似于三角形AEF，由于BG:BP=GF:PQ，所以AF:EG=AQ:BP=1:2，所以EG=2AF（理由是：三角形BPA与EGA相似比为AG:AP=EG:BP=k.因为AGF与APQ也是相似三角形，相似比为GF:PQ=AF:AQ=AG:AP=EG:BP=k，故AF:BG=AQ:BP=1：2,）
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