62问答网 > 当x→正无穷大时，指数函数比幂函、幂函数比对数函数幂函更快趋向无穷大，证明。

当x→正无穷大时，指数函数比幂函、幂函数比对数函数幂函更快趋向无穷大，证明。

2025-06-22 16:16:34

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回答1：

用定义证明，我给个例子，其他状况同理可证
设a>1，b>0，则需要证明a^x/x^b趋于无穷或者x^b/a^x趋于0。我们证明后者。取xn为正有理数数列，即需证明对任意的正数c>0，存在N，使得n>N，都有xn^b/a^xn只需正 bln(xn) < ln(c) + ln(a)xn
易知 f(x) = ln(a)x - bln(x) + ln(c) 在x够大时导函数严格正，且其为严格凸函数，故其在x取够大时f(x)严格正，所以存在N使得上述关于有理数的不等式在n>N时成立。证毕