已知函数f（x）=-x2+2|x-a|．（Ⅰ）若函数y=f（x）为偶函数，求a的值；（Ⅱ）若a＝12，求函数y=f（x）的

（Ⅰ）解法一：因为函数f（x）=-x²+2|x-a|
又函数y=f（x）为偶函数，
所以任取x∈R，则f（-x）=f（x）恒成立，
即-（-x）²+2|-x-a|=-x²+2|x-a|恒成立．…（3分）
所以|x-a|=|x+a|恒成立，
两边平方得：x²-2ax+a²=x²+2ax+a²
所以4ax=0，因为x为任意实数，所以a=0…（5分）
    解法二（特殊值法）：因为函数y=f（x）为偶函数，
所以f（-1）=f（1），得|1-a|=|1+a|，得：a=0
所以f（x）=-x²+2|x|，
故有f（-x）=f（x），即f（x）为偶函数…（5分）
（Ⅱ）若a＝

1

2

，则f(x)＝?x2+2|x?

1

2

|＝

?x2?2x+1，x＜ 1 2 ?x2+2x?1，x≥ 1 2

．…（8分）
由函数的图象并结合抛物线的对称轴可知，函数的单调递增区间为（-∞，-1]和[

1

2

，1]…（10分）
（Ⅲ）不等式f（x-1）≥2f（x）化为-（x-1）²+2|x-1-a|≥-2x²+4|x-a|，
即：4|x-a|-2|x-（1+a）|≤x²+2x-1（*）
对任意的x∈[0，+∞）恒成立．
因为a＞0．所以分如下情况讨论：
①0≤x≤a时，不等式（*）化为-4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x²+2x-1，
即x²+4x+1-2a≥0对任意的x∈[0，a]恒成立，
因为函数g（x）=x²+4x+1-2a在区间[0，a]上单调递增，
则g（0）最小，所以只需g（0）≥0即可，得a≤

1

2

，
又a＞0所以0＜a≤

1

2

…（12分）
②a＜x≤1+a时，不等式（*）化为4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x²+2x-1，
即x²-4x+1+6a≥0对任意的x∈（a，1+a]恒成立，
由①，0＜a≤

1

2

，知：函数h（x）=x²-4x+1+6a在区间（a，1+a]上单调递减，
则只需h（1+a）≥0即可，即a²+4a-2≥0，得a≤?2?

6

或a≥

6

?2．
因为