62问答网 > 已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时有f(m)+f(n)m+n＞0．（1

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时有f(m)+f(n)m+n＞0．（1

2025-06-21 01:19:01

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回答1：

（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(?x2)

x1?x2

?(x1?x2)
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，
由已知

f(x1)+f(?x2)

x1?x2

＞0，又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在[-1，1]上为增函数；
（2）∵f（x）在[-1，1]上为增函数，
故有

?1≤x+

≤1

?1≤

x?1

≤1

＜

x?1

由此解得{x|?

≤x＜?1}
（3）由（1）可知：f（x）在[-1，1]上是增函数，
且f（1）=1，故对x∈[-l，1]，恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤t²-2at+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0成立．
即g（a）=t²-2at对a∈[-1，1]，g（a）≥0恒成立，
只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于零．
故

t＞0

g(1)≥0

或