62问答网 > 如图，在四棱锥 P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E 是 PB 的中点．（Ⅰ）若F

如图，在四棱锥 P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E 是 PB 的中点．（Ⅰ）若F

2025-05-20 08:02:35

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回答1：

解答：解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为2和1的矩形，
侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2
所以BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB．又BC∩PB=B，
∴AE⊥平面PBC，又PF?面PBC．
∴AE⊥PF．
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，

，0）．
∴

＝(1，0，1)

＝(2，1，0)．
设

＝(x，y，z)，是平面EAC的一个法向量，则由

＝0

得

(x，y，z)?(1，0，1)＝0

(x，y，z)?(2，1，0)＝0

即

x+z＝0

2x+y＝0

取x=1得

＝(1，?2，?1)．
而

＝(1，?

，0)，∴cos＜

，

＞＝

＝

2	30

．
设直线BO与平面AEC所成角为α，则sinα=

2	30