在三角形ABC中,求sinA+sinB+sinC的最大值

2025-06-22 18:58:31

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回答1：

给你一个思路，我已经演算过了，可行！

首先利用正弦定理，设三角形三边是a，b，c，外接圆直径是D，那么有sinA=a/D,sinB=b/D,sinC=c/D,于是sinA+sinB+sinC＝（a+b+c)/D

由于彼此相似三角形，sinA+sinB+sinC值相同，因此不妨设a+b+c=1情况下，如何的 a,b,c才能使外接圆直径D最小，或者1/D最大，或者1/D^2最大。由于sinA=a/D，所以1/D^2=[1-(cosA)^2]/a^2，用余弦定理表示cosA，分子不要盲目化简，要因式分解，切要注意a+b+c=1，最后是a,b,c的表达式，很容易看出当a=b=c 时候最大，因此是正三角形，此时最大值是3×sqr（3)/2

回答2：

A=B=C=6时0最大，为3/2根号3
证明：
sinA+sinB+sinc
=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+sinC
>=2sin[(A+B)/2]+sinC
=2sin(90-C/2)+sinC
=2cos(C/2)+sinC
>=3sin60
=3/2根号3
当且仅当A=B=C=60取等号
这里用到和差化积公式。