证明函数y=cosx在区间﹙-∞,﹢∞﹚内是连续的?

　　不管证明什么，从定义出发是永远不会错的。
函数 f（x）在区间（a，b）上连续
　　= 对任意 x0 ∈（a，b），f（x）在 x0 处连续；
函数 f（x）在 x0 处连续
　　= f（x）在 x0 处有定义，且 f（x）在 x0 处有极限，且极限值等于函数值；
函数 f（x）在 x0 处有极限
　　= f（x）在 x0 “附近” 有定义，且存在常数 A，对给定的任意小的正数 ε，总存在正数 δ，　使得当：
　　0 ＜ | x – x0 | ＜ δ；
　时，总有：
　　| f（x） - A | ＜ ε；

证明：
　　cos（x）在（-∞,﹢∞）上处处有定义，是无须证明的——这就是余弦函数的定义。现在只要证明 cos（x）在（-∞,﹢∞）上的任意一点 x0 处有极限，且等于该点的函数值 cos（x0）即可。这要根据极限的定义来证明：
　　因为 cos（x） 在 x0 附近有定义；且总有一个常数：
　　　　A = cos（x0）；
　　而对于给定的任意小的正数 ε，我们也总能找到另一个正数：
　　　　δ = ε；—— 在此取二者相等；其实 δ 也可以更小一点；
现在，如果能证明：
　　当：
　　　　0 ＜ | x – x0 | ＜ ε；
　　总有：
　　　　| cos（x）- cos（x0）| ＜ ε；
也就能证明 cos（x）在 x0 处的极限为：cos（x0）；

（1）转化：在此要用到 “和差化积” 公式，公式你可以自己查，我只写结果：
　　　　| cos（x）- cos（x0）|
　　　= | -2 · sin（（x + x0）/ 2）·sin（（x – x0）/ 2）|
　　因为是乘积的形式，很方便调整绝对值号：
　　　= | -2 | · | sin（（x + x0）/ 2）| · | sin（（x – x0）/ 2）| ①
（2）根据正弦函数定义，有：
　　　　-1 ≤ sin（x）≤ 1；即：0 ≤ |sin（x）| ≤ 1；
　　所以，有：
　　　　0 ≤ | sin（（x + x0）/ 2）| ≤ 1；
　　在正数范围内，乘以小于 1 的数，只会让自己变小；对于 0 和 1 两个边界，可单独考虑。于是，等式 ① 可化为以下不等式：
　　　　| cos（x） - cos（x0）| ≤ | -2 | · | sin（（x – x0）/ 2）|； ②
　　再根据正弦函数不等式：
　　　　| sin（x）| ≤ | x |；（因为有绝对值，该不等式在全实数范围内都成立）
　　不等式 ② 可化为：
　　　　| cos（x） - cos（x0）| ≤ | -2 | · |（x - x0）/ 2 |
　　　　| cos（x） - cos（x0）| ≤ | x - x0 | ③
（3）再根据 x 的取值范围：
　　　　0 ＜ | x – x0 | ＜ ε；
代入 ③ 式，得：
　　　　| cos（x） - cos（x0）| ＜ ε；

由此可以证明：
　　cos（x）在 x0 处有极限，且极限值等于函数值：cos（x0）；
因为 x0 是任选的，所以可证明，cos（x）在（-∞,﹢∞）上是连续的。