已知方程x^2 +(2k+1)x+k-1=0的两个实数根分别为x1、x2,且满足x1-x2=4k-1,求实数k的值

x1+x2=-(2k+1)=-2k-1
x1-x2=4k-1
∴x1=k-1, x2=-3k
将x1,x2分别代入原方程得
(k-1)²+(2k+1)(k-1)+k-1=0...①
(-3k)² - 3k(2k+1)+k-1=0...②
则①式解得k1=-1/3或k2=1
则①式解得k3=-1/3或k4=1

△=(2k+1)²-4(k-1)
=4k²+4k+1-4k+4
=4k²+5≥5

综上k=-1/3或1

根据已知得 x1+x2= -(2k+1) ，x1*x2=k-1 ，
因此由 (x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(2k+1)^2-4(k-1)=(4k-1)^2 得 k= -1/3 或 k=1 。

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则依韦达定理有
x1+x2 = -b/a
x1*x2 = c/a
x1＋x2＝－2k－1，x1x2＝k－1
　　所以（x1－x2）＾2＝（x1＋x2）＾2－4x1x2
　　　　　　　　　　　　　＝（－2k－1）＾2－4（k－1）＝4k＾2＋5
　　则有：4k＾2＋5＝（4k－1）＾2，解得：k＝1或－1／3

x1+x2=-2k-1 x1-x2=4k-1
∴x1=k-1 x2=-3k
∴代人x1x2=k-1中得，(k-1)(-3k)=k-1
整理得，3k²-2k-1=0，解得k=1或k=-1/3
经验证都使方程有实数根
∴k=1或-1/3

解：依韦达定理有：x1＋x2＝－2k－1，x1x2＝k－1
　　所以（x1－x2）＾2＝（x1＋x2）＾2－4x1x2
　　　　　　　　　　　　　＝（－2k－1）＾2－4（k－1）＝4k＾2＋5
　　则有：4k＾2＋5＝（4k－1）＾2，解得：k＝1或－1／3