62问答网 > 如图平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于O,P为平面内任意一点，求证PA+PB+PC+PD=4PO

如图平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于O,P为平面内任意一点，求证PA+PB+PC+PD=4PO

2025-05-23 14:42:58

推荐回答（5个）

回答1：

当P与O重合时，PA+PB+PC+PD不等于0，而PO=0，显然结论有误

回答2：

结论PA+PB+PC+PD=4PO不成立的，不要去思考了！

回答3：

因为ABCD为平行四边形，O为中心，故(OA+OC)+(OB+OD)=0
PA-PO=OA，PB-PO=OB，PC-PO=OC，PD-PO=OD
将上式代入得PA-PO+PB-PO+PC-PO+PD-PO=0
故得PA+PB+PC+PD=4PO

回答4：

在平面几何范围内，这个结论不成立。
反例：
当P与O重合时，OP=0，
而PA+PB+PC+PD=2(AC+BD)≠0，
∴这是一个假命题。

若是向量题，那么本题是一个真命题：
延长PO到Q，使OQ=PO，连接AQ、BQ、CQ，
则PQ=2OP，PC=AQ，PD=BQ，
而PA+AQ=PQ，PB+BQ=PQ，
∴PA+PC=2PO，PA+PD=2PO，
∴PA+PB+PC+PD=4PO。

回答5：

∵ABCD为平行四边形，∴(OA+OC)+(OB+OD)=0
又∵PA-PO=OA，PB-PO=OB，PD-PO=OD，PC-PO=OC
∴PA-PO+PB-PO+PC-PO+PD-PO=0
∴PA+PB+PC+PD=4PO

如图 平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于O,P为平面内任意一点，求证PA+PB+PC+PD=4PO

如图平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于O,P为平面内任意一点，求证PA+PB+PC+PD=4PO