设α,β,γ满足0<α<β<γ<2π,若函数f(x)=sin(x+α)+sin(x+β)+sin(x+γ)的图像是一条与x轴重合的直线

函数f(x)=sin(x+α)+sin(x+β)+sin(x+γ)的图像是一条与x轴重合的直线,所以对任意x，有f(x)=0,
f(x)=sinx(cosα+cosβ+cosγ)+cosx(sinα+sinβ+sinγ)
所以
cosα+cosβ+cosγ=0, sinα+sinβ+sinγ=0
设向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(cosγ,sinγ)，c'=(-cosγ,-sinγ)，
d对应的点为A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ)，C'(-cosγ,-sinγ)，
则a+b+c=0(向量）
a+b=-c=c'
|a|=|b|=|c‘|=1
OAC'B为菱形，又因为OAC'为等边三角形，所以
∠BOA=2π/3
即β-α=2π/3.
方法2：由 cosα+cosβ+cosγ=0, sinα+sinβ+sinγ=0
得到 cosα+cosβ=-cosγ, sinα+sinβ=-sinγ
两式平方相加 2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1
2cos(β-α)=2cos(α-β)=-1
cos(β-α)=-1/2,
同理 cos(γ-β)=-1/2
0<α<β<γ<2π
β-α=γ-β=2π/3.