62问答网 > 设C为n阶实可逆矩阵，A为n阶实对称矩阵，证明：A正定当且仅当C✀AC正定

设C为n阶实可逆矩阵，A为n阶实对称矩阵，证明：A正定当且仅当C✀AC正定

2025-05-20 08:32:18

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回答1：

必要性：A正定→A与E合同→存在可逆矩阵D,使得A=D'D.
那么B=C'AC=C'(D'D)C=(DC)'(DC),所以B与E合同→B正定；

充分性：B=C'AC正定→B与E合同→存在可逆矩阵M,使得B=C'AC=M'EM=M'M
那么A=(C')^(-1)*M'M*(C)^-1=(M(C)^-1)'(M(C)^-1),C可逆则C^(-1)可逆→M(C)^-1可逆,所以A
与E合同→A正定。#

回答2：

b正定，存在可逆阵d，使得d’bd=e，记m=d‘ad是对称阵，故存在正交阵q，使得q'mq是对角阵，令c＝dq，则c'ac=q'd'adq=q'mq是对角阵，c'bc=q'd'bdq=q'eq=e是对角阵。