62问答网 > 已知两个等差数列｛an}和｛bn}的前n项和An和Bn,且An⼀Bn=(7n+45)⼀(n+3)

已知两个等差数列｛an}和｛bn}的前n项和An和Bn,且An⼀Bn=(7n+45)⼀(n+3)

(1)求a11/b11的值（2）求所有的正整数n,使an/bn也为整数

2025-06-21 18:36:40

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回答1：

(1)A11/B11=(7×11+45)/(11+3)=61/7 (2)设An/Bn=k(k为整数)
则(7n+45)/(n+3)=k
整理得到n=(3k-45)/(7-k)
因为n是正整数，所以分子分母同号

当3k-45<0时，7-k<0
解得7依次代入n=(3k-45)/(7-k)解得k=8,9,10,11,13时n为整数，分别为21,9,5,3,1

当3k-45>0时，7-k>0
解得：k<7且k>15，无解
综上，n=1,3,5,9,21时，An/Bn为整数即使An/Bn为整数的正整数n的个数有5个

回答2：

（1）将11代入原式，a11/b11=(77+45)/14=122/14=61/7（2）分解原式=7(n+3)/(n+3)+24/(n+3)，7(n+3)/(n+3)等于7，是整数，则要令24/(n+3)为整数。24的约数有1、2、3、4、6、8、12、24。则n可以等于-2、-1、0、1、3、5、9、21。因为n是下标，为正整数，所以n只能等于1、3、5、9、21