俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobatchevsky，1793-1856）也希望能证明第Ⅴ公设，他企图通过否定第Ⅴ公设的等价命题来引出矛盾（V’
：过直线外一点，至少能作两条直线与已知直线平行,三角形内角和小于180o）。但他推出了一个又一个新奇的结论后仍找不到逻辑上的矛盾，这些新的结论构成了一个不同的几何体系，后来被称为罗巴切夫斯基-鲍耶几何（或罗氏几何）。
德国数学家黎曼（Riemann，1826-1866）修改了第Ⅴ公设（V’’：过直线外一点，不能作与已知直线相平行的直线
,
三角形内角和大于180o），推出了一系列新奇的无逻辑上矛盾的结论，这些新的结论构成的几何体系，后来被称为黎曼几何。
★罗巴切夫斯基-鲍耶几何与黎曼几何统称为非欧几何。
第Ⅴ公设等价于：过直线外一点只可作一直线平行于已知直线
非欧几何的出现，是19世纪数学发展的一个重大突破
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