苏州市2009高三教学调研测试

1． 集合 的所有子集个数为_________．8
2． 已知复数 ， （ 是虚数单位），若 为纯虚数，则实数 ＝_________．
3． 直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是_________．
a＝－2．
4． 函数 的值域是_________．（0，＋∞）
5． 如图，程序执行后输出的结果为_________．64．
6． 椭圆 的一条准线方程为 ，则 ________．5
7． 已知 是两条不同的直线， 为两个不同的平面，
有下列四个命题：
①若 ，m⊥n，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________．①④
8． 在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则 ＝_________．
9． 一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数之和等于16的概率为_________．
10． 设等差数列 的公差为 ，若 的方差为1，则 =_________．

11． 已知函数 在定义域内是增函数，则实数 的取值范围为_________．

12． 已知一个正三棱锥P－ABC的主视图如图所示，若AC＝BC＝ ，PC＝ ，则此正三棱锥的全面积为_________．
13． 在锐角△ABC中，b＝2，B＝ ， ，则△ABC的面积为_________．
14． 已知命题：“在等差数列 中，若 ，则 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_________．18

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15． （本小题满分14分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调增区间；
（Ⅱ）已知 ，且 ，求α的值．
15．解：（Ⅰ） ＝ ．………… 4分
由 ，得 ．
∴函数 的单调增区间为 ．………… 7分
（Ⅱ）由 ，得 ．
∴ ． ………………………………………… 10分
∴ ，或 ，
即 或 ．
∵ ，∴ ． …………………………………………… 14分

16． （本小题满分14分）
已知数列 的前n项和为 ，且 ．
（Ⅰ）求数列 通项公式；
（Ⅱ）若 ， ，求证数列 是等比数列，并求数列 的前 项和 ．
16．解：（Ⅰ）n≥2时， ． ………………… 4分
n＝1时， ，适合上式，
∴ ． ………………… 5分
（Ⅱ） ， ． ………………… 8分
即 ．
∴数列 是首项为4、公比为2的等比数列． ………………… 10分
，∴ ．……………… 12分
Tn＝ ＝ ． ………………… 14分
17． （本小题满分15分）
在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求证CE‖平面PAB．
17．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，
∠BAC＝60°，∴BC＝ ，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
∴CD＝2 ，AD＝4．
∴SABCD＝
．……………… 3分
则V＝ ． ……………… 5分
（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC． ……………… 7分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF‖CD．则EF⊥PC． ……… 9分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分
（Ⅲ）证法一：
取AD中点M，连EM，CM．则EM‖PA．
∵EM 平面PAB，PA 平面PAB，
∴EM‖平面PAB． ……… 12分
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC‖AB．
∵MC 平面PAB，AB 平面PAB，
∴MC‖平面PAB． ……… 14分
∵EM∩MC＝M，
∴平面EMC‖平面PAB．
∵EC 平面EMC，
∴EC‖平面PAB． ……… 15分
证法二：
延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，
∴C为ND的中点． ……12分
∵E为PD中点，∴EC‖PN．……14分
∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，
∴EC‖平面PAB． ……… 15分

18． （本小题满分15分）
经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t（件），价格近似满足 （元）．
（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（Ⅱ）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
18．解：（Ⅰ） …… 4分
＝ …………………… 8分
（Ⅱ）当0≤t＜10时，y的取值范围是[1200，1225]，
在t＝5时，y取得最大值为1225； …………………… 11分
当10≤t≤20时，y的取值范围是[600，1200]，
在t＝20时，y取得最小值为600． …………………… 14分
（答）总之，第5天，日销售额y取得最大为1225元；
第20天，日销售额y取得最小为600元． …………………… 15分

19． （本小题满分16分）
已知点P（4，4），圆C： 与椭圆E： 有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．
（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求 的取值范围．
19．解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，
得 ．
∵m＜3，∴m＝1． …… 2分
圆C： ．
设直线PF1的斜率为k，
则PF1： ，
即 ．
∵直线PF1与圆C相切，
∴ ．
解得 ． …………………… 4分
当k＝ 时，直线PF1与x轴的交点横坐标为 ，不合题意，舍去．
当k＝ 时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，
∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）． …………………… 6分
2a＝AF1＋AF2＝ ， ，a2＝18，b2＝2．
椭圆E的方程为： ． …………………… 8分
（Ⅱ） ，设Q（x，y）， ，
． …………………… 10分
∵ ，即 ，
而 ，∴－18≤6xy≤18． …………………… 12分
则 的取值范围是[0，36]． ……… 14分
的取值范围是[－6，6]．
∴ 的取值范围是[－12，0]． …………………… 16分

20． （本小题满分16分）
已知函数 图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若方程 在 内有两个不等实根，求 的取值范围（其中 为自然对数的底， ）；
（Ⅲ）令 ，如果 图象与 轴交于 ，AB中点为 ，求证： ．
20．解：（Ⅰ） ， ， ．
∴ ，且 ． …………………… 2分
解得a＝2，b＝1． …………………… 4分
（Ⅱ） ，令 ，
则 ，令 ，得x＝1（x＝－1舍去）．
在 内，当x∈ 时， ，∴h(x)是增函数；
当x∈ 时， ，∴h(x)是减函数． …………………… 7分
则方程 在 内有两个不等实根的充要条件是 ……10分
即 ． …………………… 12分
（Ⅲ） ， ．
假设结论成立，则有
①－②，得 ．
∴ ．
由④得 ，
∴ ．即 ．
即 ．⑤ …………………… 14分
令 ， （0＜t＜1)，
则 ＞0．∴ 在0＜t＜1上增函数．
，∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴ ． ………………………………… 16分