在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E

2025-06-20 15:51:34

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回答1：

方法一：（1）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
取AC中点O，连接BO，DO，
则BO⊥AC，DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC
∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
那么EF ∥ DO，根据题意，点F落在BO上，
∴∠EBF=60°，易求得 EF=DO=

所以四边形DEFO是平行四边形，DE ∥ OF；∵DE?平面ABC，OF?平面ABC，∴DE ∥ 平面ABC
（2）作FG⊥BC，垂足为G，连接FG；

∵EF⊥平面ABC，根据三垂线定理可知，EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，
∵ FG-BF?sin∠FBG-

EF=

，
∴ EG=

E F 2 -F G 2

，
∴ cos∠EGF=

即二面角E-BC-A的余弦值为

．
（3）∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC∴OB⊥平面ACD；
又∵DE ∥ OB∴DE⊥平面DAC，
∴三棱锥E-DAC的体积 V 1 =

S △BAC ?DE=

-1)=

，
又三棱锥E-ABC的体积 V 2 =

S △ABC ?EF=

=1 ，
∴多面体DE-ABC的体积为V=V₁ +V₂ =

，
方法二：（1）同方法一

（2）建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
可求得平面ABC的一个法向量为

n 1

(0，0，1) ，
平面BCE的一个法向量为

n 2

(-3，

，1) ，
所以 cos＜

n 1

，

n 2

＞

n 1

n 2

n 1

|?|

n 2