62问答网 > 已知α、β、m都是实数，α＋β=m，αβ＝（m＋2）⼀4，α^2＋β^2的最小值为?

已知α、β、m都是实数，α＋β=m，αβ＝（m＋2）⼀4，α^2＋β^2的最小值为?

2025-06-20 15:53:03

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回答1：

（1）一元二次方程有两个实数根（不知道是相等还是不相等），说明判别式：
Δ=（-4m）^2-4*4*(m+2)>=0，解得：m>=2或m<=-1
（2）由根与系数关系：α+β=-(-4m)/4=m，α*β=(m+2)/4
f(m)=α^2+β^2=(α+β)^2-2α*β=m^2-(m+2)/2=m^2-m/2-1=(m-1/4)^2-17/16
易知f(m)在m>=2时递增，在m<=-1时递减，而：f(-1)=1/2，f(2)=2.
可见，当m=-1时，f(m)取得最小值1/2.

回答2：