62问答网 > 设a^2+b^2+c^2+d^2=C, f(a,b,c,d)=a+b+c+d, 求何时f最大

设a^2+b^2+c^2+d^2=C, f(a,b,c,d)=a+b+c+d, 求何时f最大

此处C为常数直觉上应该是a=b=c=d但是我不会推求解

2025-06-20 15:26:42

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回答1：

f最大可推得f平方最大
f^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
由不等式2ab≤a^2+b^2,且等号当且仅当a=b时成立,得
f^2≤C+a^2+b^2+a^2+c^2+a^2+d^2+b^2+c^2+b^2+d^2+c^2+d^2
=C+3(a^2+b^2+c^2+d^2)=4C
当a=b=c=d时等号成立
注意的是由于要求f的最大值,所以a,b,c,d不能为负,故有a=b=c=d≥0